Romain
Enfin découvert par des mathématiciens, il est étonnamment simple et crée un motif spécial qui ne se répète jamais.
Un polygone à 13 côtés forme un motif spécial qui couvre un plan infini sans jamais se répéter / Crédit : Smith et al. Ar XIV 2023
Les mathématiques, ou plutôt les mathématiciens ont encore frappé. Quatre chercheurs, Craig Kaplan de l’Université de Pittsburgh, David Smith de l’Université de Birmingham, Joseph Myers de l’Université de Cambridge et Chaim Goodman-Strauss de l’Université de l’Arkansas, ont résolu un problème de géométrie plane de longue date impliquant une forme impossible à obtenir. capable de créer un motif spécial qui ne se répète jamais.
En d’autres termes, l’élément de base de ce motif, connu sous le nom de monolithe périodique ou carreau « einstein » (de l’allemand ein Stein, qui indique « une pierre »), est une forme géométrique unique capable de pavage complètement un plan (tout comme un carreau de sol ordinaire, qui peut couvrir une surface entière) mais ne crée jamais de motif répétitif. Cette tuile, recherchée depuis près d’un demi-siècle, a été surnommée le « chapeau » par les mathématiciens et, avant sa découverte, annoncée dans un article mis en ligne le 20 mars sur ArXiv, on ne savait même pas si elle pouvait réellement exister.
Déterrer la carte « einstein » impossible à obtenir : créer un motif qui ne se répète jamais
La tuile « einstein » est une forme étonnamment simple : c’est un polygone à 13 côtés – un polykite, un polyformat composé de quadrilatères plus petits, obtenu en superposant une grille triangulaire et hexagonale – qui agit comme un « einstein » même de deux manières : le premier découle du fait que le « chapeau » peut être agencé en groupes plus larges, appelés « métatiles », qui s’organisent en « supertiles » encore plus grands, et ainsi de suite, formant une structure capable de remplir un étage entier infini sans son modèle jamais répété.
La tuile « einstein », surnommée le « chapeau » par les savants, est mise en évidence : c’est un polygone composé de huit quadrilatères (lignes gris foncé). Crédit : Smith et al. Ar XIV 2023
La deuxième disposition est plutôt basée sur le concept du continuum de formes : en changeant progressivement les longueurs des côtés du « chapeau », des groupes de tuiles sont créés qui adoptent le même motif non répétitif. En considérant les tailles et les formes des tuiles aux extrémités de chaque groupe, les mathématiciens ont pu démontrer que le « chapeau » ne peut pas être disposé selon un motif périodique.
Les motifs non répétitifs peuvent trouver une application dans les secteurs les plus divers, de la science à la décoration. Et la découverte de ce carreau apériodique ne semble pas faire exception, puisque la nouvelle forme a déjà inspiré des graphistes et des artistes, qui ont fait ressembler le motif à un ensemble de chemises et de chapeaux sur le web.
Les experts pensent que le monolithe périodique pourrait déclencher de nouvelles recherches en science des matériaux, rappelant comment les quasi-cristaux, découverts par le prix Nobel de chimie Dan Shecthtman, sont souvent décrits comme des analogues des tuiles de Penrose. Ces tesselles, du nom de leur découvreur, le mathématicien Roger Penrose qui, dans les années 1970, s’est rendu compte que seules deux formes différentes créaient un motif non répétitif, ont conduit les mathématiciens à émettre l’hypothèse qu’une seule forme pouvait donner lieu à un motif apériodique. Enfin, cette carte insaisissable a été retrouvée, sortant du cylindre – peut-être convient-il de dire du « chapeau » – des savants.
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