Un livre sauve une base essentielle (et presque oubliée) des mathématiques

Un Livre Sauve Une Base Essentielle (et Presque Oubliée) Des

En 1974, le mathématicien Michael Freedman a commencé à étudier un problème très courant en topologie, une extension de la géométrie. C’était la « Conjecture de Poincaré », qui établit que toute forme, avec quelques caractéristiques génériques, doit être équivalente à une sphère.

Poincaré, lorsqu’il a postulé la conjecture en 1904, pensait spécifiquement aux formes tridimensionnelles, mais les mathématiciens modernes ont commencé à considérer toutes les dimensions possibles, en appliquant la conjecture en deux courants distincts : les « formes lisses », qui n’apportent ni coins ni sommets, vous permettant de créer des calculs à partir de n’importe quel point ou position ; et les « formats topologiques », où il y a présence de sommets où le calcul est impossible.

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L'image montre la couverture d'un livre qui sauve une base essentielle des mathématiques
Le livre « Le théorème d’intégration de disque” sauve le travail mathématique de Michael Freedman et sa solution à la conjecture de Poincaré dans des formats à quatre dimensions. Image : Oxford/Divulgation

C’est un type de fondement mathématique si complexe et spécifique que, selon certains, vous ne pouvez le comprendre que si Freedman lui-même était avec vous, guidant votre étude. Pour cette raison, son utilisation dans la recherche est extrêmement rare et, par conséquent, peu de gens le comprennent réellement.

Certains éditeurs d’un nouveau livre, cependant, veulent sauver ce savoir, le transmettre à travers l’ouvrage « Le théorème d’intégration de disque” (“The Disk Embedding Theorem”, en traduction littérale). Avec environ 500 pages, les auteurs veulent que le sujet soit si divisé en quelque chose qu’un étudiant peut apprendre en un seul semestre.

« [Com o livro] Nous ne laissons rien à l’imagination », a déclaré Arunima Ray de l’Institut de mathématiques Max Planck, qui signe la paternité du livre avec Stefan Behrens (Université de Bielefeld), Boldizsár Kalmár (Université de technologie et d’économie de Budapest), Min Hoon Kim (National Chonnam University, Corée du Sud) et Mark Powell (Durham University). « Tout est correctement noté et marqué ».

D’autres chercheurs de Poincaré avaient déjà fait des progrès sur les formes jusqu’à cinq dimensions, mais Freedman s’est concentré sur la conjecture topologique à quatre dimensions – peut-être la plus difficile dans le domaine : elle prétend essentiellement que chaque forme topologique qui se compose d’une sphère homotope à quatre dimensions est , aussi , fortement équivalent à une sphère ordinaire à quatre dimensions.

Formellement parlant : deux fonctions continues qui se déplacent d’un espace topologique à un autre sont dites « homotopiques ». La conjecture quadridimensionnelle est considérée comme l’une des plus complexes car, au moment où Freedman l’a résolue, les outils utilisés par les mathématiciens ne fonctionnaient pas très bien dans l’environnement quadridimensionnel restreint.

Pour comprendre comment Freedman a résolu ce problème, il est important d’établir quelques paramètres : une sphère homotope à quatre dimensions n’est pas la même chose qu’une sphère ordinaire. Ici, il se caractérise par la façon dont les courbes dessinées en son sein interagissent les unes avec les autres.

Dans le cas de la conjecture à quatre dimensions, ces courbes sont deux plans à deux dimensions. Il est plus facile de comprendre en considérant l’image ci-dessous, où les courbes unidimensionnelles se croisent dans un espace bidimensionnel :

Le graphique montre une ligne traversant une courbe en deux points
Graphique qui simplifie la compréhension de l’analyse de Freedman pour la conjecture de Poincaré. Image : Quanta Magazine/Reproduction

Dans l’exemple ci-dessus, les deux courbes apportent quelque chose appelé « nombre algébrique d’intersection ». Pour savoir quel est ce nombre, il suffit de mettre la valeur de « -1 » pour tous les points croisés où la courbe est montante ; et la valeur de « +1 » pour les points croisés où la courbe est descendante. Puisque nous avons un point pour chacun dans l’image, alors nous savons que le nombre algébrique est « 0 ».

Ce même nombre est caractéristique de la sphère homotope et aussi de la sphère commune, à la différence près que la sphère commune peut avoir ses courbes tracées pour ne se croiser à aucun moment. Le nombre reste « 0 », mais sans compter les points d’intersection positionnés au dessus.

Ici commence le problème résolu par Freedman : il avait besoin de montrer qu’il est toujours possible de prendre des paires de courbes avec le numéro d’intersection « 0 » et de les « écarter » l’une de l’autre, sans changer ce nombre. Si vous avez des paires de courbes avec des numéros d’intersection « 0 » et que vous pouvez les écarter, alors vous avez prouvé que l’espace où elles sont intégrées doit être celui d’une sphère ordinaire.

Les études de l’homme ont pris sept ans de quasi-isolement social (et vous là-bas, pensant que les suppressions causées par la pandémie sont mauvaises), où Freedman n’a interagi avec pratiquement personne. Finalement, il a atteint son objectif, mais son travail a presque disparu lorsqu’il n’a pas réussi à prouver qu’il était «présentable» à n’importe quel niveau d’étudiant – contrairement à d’autres domaines scientifiques, il n’y a pas de «jury» qui juge les travaux mathématiques comme corrects.

Freedman a présenté ses découvertes à plusieurs esprits forts de la communauté qui l’ont aidé à diffuser ces connaissances, mais pour atteindre un statut plus distribué, il avait besoin d’un avis écrit de l’examen afin que les personnes qui ne l’avaient jamais vu auparavant puissent lire et apprendre par leur propre compte. Il n’a jamais fait ça.

Freedman travaille maintenant sur Station Q, un projet Microsoft au sein de l’Université de Santa Barbara, en Californie, pour développer un ordinateur quantique avec des capacités de calcul topologique : « Je n’ai probablement pas géré l’exposition de documents écrits aussi soigneusement que j’aurais dû. », il a dit.

Le livre est déjà disponible aux États-Unis, mais il ne devrait pas arriver dans une version traduite pour le Brésil.

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